Вопросы и задачи. Упражнения

Вопросы и задачи

24.1. Докажите, что модель CEV не нарушает паритет опционов “колл” и “пут”.

24.2. Как с помощью метода Монте-Карло сгенерировать выборочные траектории, описывающие изменение цены актива, в рамках модели скачкообразной диффузии, предложенной Мертоном?

24.3. Докажите, что модель скачкообразной диффузии Мертона не нарушает паритет опционов “колл” и “пут, если величина скачка имеет логнормальное распределение.

24.4. Предположим, что волатильность цены актива между нулевым и шестым месяцами равна 20%, между шестым и двенадцатым месяцами – 22%, а между 12 и 24 месяцами – 24%. Какую волатильность следует использовать в модели Блэка-Шоулза для оценки двухлетнего опциона?

24.5. Рассмотрим модель скачкообразной диффузии, предложенную Мертоном, в которой скачки всегда сводят стоимость актива к нулю. Предположим, что в среднем за год происходит А скачков. Докажите, что стоимость европейского опциона “колл” совпадает с ценой, вычисленной по модели без скачков, в которой безрисковая процентная ставка равна r + λ, а не r. Как влияет вероятность скачков на стоимость опциона “колл”? (Подсказка: вычислите стоимость опциона по модели без скачков и по модели, предусматривающей один или несколько скачков. Вероятность отсутствия скачка в момент Т равна е^-λT.)

24.6. В нулевой момент времени цена бездивидендной акции равна S₀. Допустим, что временной интервал от нуля до момента Т разделен на два подынтервала, длины которых равны t₁ и t₂ соответственно. На протяжении первого подынтервала безрисковая процентная ставка и волатильность равны r₁ и σ₁, а на протяжении второго – r₂ и r₂ соответственно. Условия предполагаются риск-нейтральными.

1) Используя результаты, изложенные в главе 13, определите распределение вероятных значений цены акции в момент Т по величинам r₁, r₂, σ₁, σ₂, t₁, t₂ и S₀.

2) Предположим, что r – средняя процентная ставка на интервале от нуля до момента Т, а V – средняя диверсия на этом интервале. Опишите распределение вероятных значений цены акции в виде функции, зависящей от величин r, V, T и S₀.

3) Как изменятся результаты, полученные при решении задач 1 и 2, если интервал разделен не на два, а на три подынтервала с разными уровнями процентных ставок и волатильности?

4) Докажите, что если безрисковая процентная ставка r и волатильность σ представляют собой известные функции, зависящие от времени, то распределение вероятных значений цены акции в момент Т в риск- нейтральных условиях имеет следующий вид.

Здесь r – среднее значение величины r, V – среднее значение дисперсии σ², a S₀ – текущая цена акции.

24.7. Запишите формулы для моделирования траектории, которую проходит цена актива в рамках модели стохастической волатильности в уравнениях (24.2) и (24.3).

24.8. “Модель IVF не обязательно правильно оценивает эволюцию поверхности волатильности.” Объясните смысл этого высказывания.

24.9. “Если процентные ставки постоянны, то модель IVF правильно оценивает стоимость дериватива, выигрыш которого зависит от цены базового актива, измеренной только в один из моментов времени.” Объясните смысл этого высказывания.

24.10. Постройте трехуровневое дерево для оценки американского опциона “с оглядкой” на покупку валюты, если начальный валютный курс равен 1,6 долл., внутренняя безрисковая процентная ставка равна 5% годовых, внешняя безрисковая процентная ставка равна 8% годовых, волатильность валютного курса равна 15%, а срок действия равен 18 месяцев. Используйте подход, описанный в разделе 24.4.

24.11. Что произойдет с моделью гамма-дисперсии, если параметр v стремится к нулю?

24.12. Постройте трехуровневое дерево для оценки американского опциона на продажу бездивидендной акции по среднегеометрической цене при условии, что цена акции равна 40 долл., цена исполнения – 40 долл., безрисковая процентная ставка – 10% в год, волатильность – 35% в год, а до окончания срока действия опциона осталось три месяца. Геометрическое среднее измеряется, начиная с текущего момента и заканчивая моментом завершения опциона.

24.13. Можно ли применить метод оценки опционов, зависящих от предыстории, описанный в разделе 24.4, для вычисления цены американского опциона с выигрышем, равным max (S_ave – K, 0), где S_ave – средняя цена актива на протяжении трех месяцев, предшествующих завершению опциона Аргументируйте свой ответ.

24.14. Проверьте, что число 6,492 на рис. 24.3 является правильным.

24.15. Оцените политику досрочного исполнения опциона для каждой из восьми траекторий, указанных в примере, рассмотренном в разделе 24.7. Чем отличаются друг от друга подход, основанный на методе наименьших квадратов, и метод параметризации границы исполнения? Какой из этих методов дает более высокую цену опциона для выборочных траекторий?

24.16. Рассмотрим европейский опцион на продажу бездивидендной акции при условии, что цена акции равна 100 долл., цена исполнения – 110 долл., безрисковая процентная ставка – 5% в год, а до окончания срока действия опциона остался один год. Вероятность того, что на протяжении всего срока действия опциона средняя дисперсия принимает значения 0,06, 0,09 и 0,12, равна 0,2, 0,5 и 0,3 соответственно. Волатильность не коррелирует с ценой акции. Оцените стоимость опциона, используя программу DerivaGem.

24.17. Как построить биномиальное дерево с двумя барьерами так, чтобы узлы лежали на обоих барьерах?

Упражнения

24.18. Срок нового европейского опциона “с оглядкой” на покупку фондового индекса истекает через девять месяцев. Текущее значение индекса равно 400 пунктам, безрисковая процентная ставка равна 6% в год, дивидендная доходность равна 4% в год, а волатильность индекса равна 20%. Используя подход, описанный в разделе 24.4, вычислите стоимость опциона и сравните полученный ответ с результатом, выданным программой DerivaGem на основе аналитической формулы.

24.19. Предположим, что для оценки шестимесячного валютного опциона используется волатильность, приведенная в табл. 16.2. Кроме того, будем считать, что внутренняя и внешняя безрисковые процентные ставки равны 5% в год, а текущий валютный курс равен 1,00. Рассмотрим бычий спрэд, состоящий из длинной позиции по шестимесячному опциону “колл” с ценой исполнения 1,05 долл. и короткой позиции по шестимесячному опциону “колл” с ценой исполнения 1,10 долл.

1) Чему равна стоимость такого спрэда?

2) Какая волатильность гарантирует правильную оценку стоимости обоих опционов в бычьем спрэде? (Воспользуйтесь программой DerivaGem Application Builder в сочетании с надстройками Goal Seek или Solver.)

3) Подтверждает ли полученный ответ утверждение, сделанное в начале главы, о том, что правильное значение волатильности, которое следует использовать при оценке экзотических опционов, иногда противоречит интуиции?

4) Правильно ли оценивает модель IVF указанный бычий спрэд?

24.20. Повторите анализ, описанный в разделе 24.7, для оценки опциона “пут”, считая, что цена исполнения равна 1,13 долл. Примените как метод наименьших квадратов, так и параметризацию границы исполнения.

24.21. Рассмотрим модель скачкообразной диффузии Мертона, в которой базовым активом является бездивидендная акция. В среднем за год происходит один скачок. Средняя величина скачка равна 2%, а стандартное отклонение логарифма величины скачка равно 20%. Цена акции равна 100, безрисковая процентная ставка равна 5%, волатильность σ, относящаяся к диффузионной части процесса, равна 15%, а до окончания срока действия опциона осталось шесть месяцев. Используя программу DerivaGem Application Builder, вычислите подразумеваемую волатильность при цене исполнения, равной 80, 90, 100, 110 и 120 долл. Какое распределение вероятных значений цены акции подразумевает полученная “улыбка волатильности”?