22.10. Азиатские опционы

Азиатскими (asian) называются опционы, выигрыш которых зависит от средней цены актива на протяжении, по крайней мере, нескольких периодов. Выигрыш опциона “колл” по средней цене (average price call) равен max (0, S_ave – К), а выигрыш опциона “пут” по средней цене (average price put) равен max (0, К – S_ave), где S_ave – средняя стоимость базового актива, вычисленная на протяжении нескольких заранее установленных периодов. Опционы по средней цене дешевле обычных и лучше удовлетворяют специфические потребности корпораций. Допустим, некая корпорация в США на протяжении следующего года ожидает получения денежной суммы в размере 100 млн австралийских долларов, равномерно распределенной на весь период. Естественно, финансист корпорации заинтересован в опционе, гарантирующем, что средняя величина валютного курса на протяжении этого года будет превышать определенный уровень. Опцион по средней цене в таких ситуациях может оказаться эффективнее обычного опциона.

Еще одним типом азиатского опциона является опцион по средней цене исполнения (average strike option). Выигрыш опциона “колл” по средней цене исполнения равен max (0, S_T – S_ave), а выигрыш опциона “пут” по средней цене исполнения – max (0, S_ave – S_T). Опционы по средней цене исполнения гарантируют, что средняя цена, выплаченная за активно продаваемый актив за указанный период времени, не превысит окончательной цены. И наоборот, они могут гарантировать, что средняя цена, полученная за активно продаваемый актив за указанный период, будет не меньше окончательной цены.

Если цена базового актива S имеет логнормальное распределение, a S_ave – среднее геометрическое значение этой цены, для вычисления стоимости европейских опционов по средней цене существуют аналитические формулы. Это объясняется тем, что геометрическое среднее множество логнормально распределенных величин само имеет логнормальное распределение. Рассмотрим только что заключенный опцион, обеспечивающий в момент Т выигрыш, зависящий от геометрического среднего, вычисленного за период от нуля до момента Т. Если в риск-нейтральных условиях установить ожидаемую скорость роста стоимости актива равной (r – q – σ²/6)/2 (вместо r – q), а ее волатильность – σ/ 3 (вместо σ), то распределение геометрического среднего цены базового актива за определенный период совпадет с распределением цены актива в момент завершения опциона. Следовательно, опцион по средней цене, вычисленной как геометрическое среднее, эквивалентен обычному опциону, в котором волатильность цены актива равна σ/3, а дивидендная доходность –

Если, как это обычно бывает, азиатские опционы основаны на средних арифметических ценах, вывести точную аналитическую формулу для вычисления стоимости таких опционов не удастся. Это объясняется тем, что распределение средних арифметических значений множества логнормально распределенных значений не имеет аналитических свойств. Однако это распределение является приближенно логнормальным и может использоваться в качестве аппроксимации. При этом сначала точно вычисляются два первых момента распределения вероятных значений арифметического среднего цен актива в риск-нейтральных условиях, а затем выдвигается предположение, что это распределение является логнормальным.

Рассмотрим только что заключенный азиатский опцион, обеспечивающий в момент Т выигрыш, зависящий от арифметического среднего цен актива за период действия опциона. Первый и второй моменты, М₁ и М₂, среднего арифметического цен актива в риск-нейтральных условиях вычисляются по формулам

и

Здесь q ≠ r (вариант, когда q = r, рассматривается в задаче 22.23). Если предположить, что средняя цена актива имеет логнормальное распределение, опцион по средней цене можно интерпретировать как фьючерсный опцион и использовать формулы (14.16) и (14.17) с параметрами

и

Пример 22.2

Рассмотрим только что заключенный опцион по средней цене на покупку бездивидендных акций при условии, что цена акции равна 50 долл., цена исполнения – 50 долл., волатильность цены акции равна 40% в год, безрисковая процентная ставка – 10% годовых, а до завершения опциона остался один год. В таком случае S₀ = 50, К = 50, r = 0,1, q = 0, σ = 0,4 и Т = 1. Если средняя цена актива вычисляется как среднее геометрическое значение, стоимость опциона можно вычислить по формулам для обычного опциона, положив волатильность равной 0,4/3, т.е. 23,09%, а доходность – равной (0,1 + 0,4²/6)/2, т.е. 6,33%. Стоимость опциона равна 5,13 долл. Если средняя цена актива вычисляется как среднее арифметическое значение, сначала следует вычислить моменты М₁ = 52,59 и М₁ = 2922,76. Если средняя цена актива имеет логнормальное распределение, стоимость этого опциона совпадает со стоимостью фьючерсного опциона. Из формул (22.1) и (22.2) следует, что F₀ = 52,59 и σ = 23,54%. Вычисления по программе DerivaGem показывают, что стоимость оцениваемого опциона равна 5,62 долл.

Формулы для вычисления моментов М₁ и М₂ основаны на предположении, что средняя цена вычислена по непрерывным измерениям. Формулы для вычисления моментов M₁ и М₂ на основе дискретных измерений приведены в приложении 22.1.

Если после заключения опциона прошло достаточно много времени и проведено несколько измерений цены для вычисления ее среднего значения, описанную выше процедуру можно модифицировать. Допустим, что период усреднения состоит из двух периодов. Первый из них имеет длину t₁, и именно на его протяжении производятся наблюдения. Второй период имеет длину (оставшаяся часть срока действия опциона). Допустим, что средняя цена актива на протяжении первого периода равна S. Выигрыш опциона “колл” по средней цене равен

где S_ave – средняя цена актива на протяжении оставшегося срока действия опциона. Эта формула эквивалентна выражению

где

Если К* > 0, то опцион можно оценить так же, как и только что заключенный азиатский опцион, при условии что цена исполнения К заменяется величиной К*, а результат умножается на t₁/(t₁ + t₂). Если К* < 0, опцион необходимо исполнить. В этом случае он оценивается как форвардный контракт, а его стоимость равна