Триномиальные деревья

Альтернативой биномиальным деревьям являются триномиальные. Общий вид триномиального дерева продемонстрирован на рис. 17.12. Предположим, что Р_u, P_m и P_d – вероятности того, что цена акции вырастет, останется неизменной или упадет на протяжении интервала длительностью Δt. Для акции, не предусматривающей выплату дивидендов, математическое ожидание и стандартное отклонение изменения цены акции (если отбросить слагаемые, содержащие множители Δt высоких порядков) имеет следующий вид

Кроме того

Вычисления по триномиальным деревьям аналогичны вычислениям по биномиальной модели. Обход триномиального дерева начинается с конца дерева в направлении к началу. В каждом узле вычисляется стоимость исполнения и стоимость продолжения владения опционом. Стоимость продолжения равна

где f_u, f_m и f_d – стоимости опциона, соответствующие верхнему, среднему и нижнему узлам на следующем уровне. С вычислительной точки зрения триномиальная модель эквивалентна явному конечно-разностному методу, описанному в разделе 17.8.

Фиглевский и Гао предложили метод построения деревьев, при котором к дереву с высоким разрешением (high-resolution tree), т.е. с малым шагом Δt, прививается дерево с низким разрешением, т.е. с большим шагом Δt.

Авторы назвали этот метод моделью адаптивной сетки (adaptive mesh model). Оказывается, при вычислении стоимости американского опциона в окрестности цены исполнения и момента истечения срока действия опциона необходимо построить дерево с высоким разрешением.